Question

1．已知函数f（x）=x²+1（x＞0），P是函数 y=f（x）图象上任意一点，过点P与点Q（-1，0）的直线与y轴交于点M，记点M的纵坐标为m，求m的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 设出P点坐标，由直线方程的两点式写出PQ所在直线方程，取x=0求得m，再用函数单调性求得m的最小值，并求得点P的坐标．

解答 解：P（x₀，y₀），又Q（-1，0），
∴过点P与点Q（-1，0）的直线方程为$\frac{y-{y}_{0}}{-{y}_{0}}=\frac{x-{x}_{0}}{-1-{x}_{0}}$，
即（y-y₀）（-1-x₀）=-y₀（x-x₀），
取x=0，得m=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}+{y}_{0}}{{x}_{0}+1}=\frac{2{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+1}{{x}_{0}+1}$=$2{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}+1$（x₀＞0）．
∴当${x}_{0}=\frac{1}{4}$时，${m}_{min}=2×（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+1=\frac{7}{8}$．
此时P（$\frac{1}{4}，\frac{17}{16}$）．

点评 本题考查利用两点式求直线方程，训练了二次函数最值的求法，属中档题．