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已知函数f(x)=2ax3-3ax2+1,g(x)=-
a
4
x+
3
2
,(a<0),若对任意给定的x0∈[-1,
5
4
],在区间[-1,
5
4
]上总存在唯一一个x1,使得f(x1)=g(x0)成立,则a的取值范围为(  )
分析:求出原函数的导函数,列表分析出函数f(x)在[-1,
5
4
]上的取值情况,并且由表中数值看出,只有当f(x)的取值在(1-a,1-5a]时,一个函数值对应一个自变量的值,然后由g(x)的单调性求出g(x)的值域,由g(x)的值域是(1-a,1-5a]的子集列式求解a的取值范围.
解答:解:当a<0时,f'(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1).

由表可知,当f(x)∈(1-a,1-5a]时,x与f(x)是一一对应关系.
又∵当a<0时,g(x)=-
a
4
x+
3
2
在[-1,
5
4
]上是增函数,
∴对任意x∈[-1,
5
4
],g(x)∈[
a+6
4
24-5a
16
]

a+6
4
>1-a
24-5a
16
≤1-5a
,解得:-
2
5
<a≤-
8
75

∴a的取值范围为-
2
5
<a≤-
8
75

故选:B.
点评:本题考查了函数在某点取得极值的条件,训练了利用函数单调性求函数的值域,考查了数学转化思想方法,解答的关键是把问题转化为两个集合之间的关系,是中档题.
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1
x
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