【题目】如图所示,在多面体中, 与均为边长为2的正方形, 为等腰直角三角形, ,且平面平面,平面平面.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)由线面垂直可得,由为等腰直角三角形可得,从而平面,进而可得平面平面;(Ⅱ)以为原点,以, , 分别为轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面与平面的的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果
试题解析:(Ⅰ) 平面平面,且,
平面.
平面, .
又为等腰直角三角形, , .
, 平面.
又平面, 平面平面.
(Ⅱ)平面平面, ,
平面,
, .
又, 以为原点,以, , 分别为轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意,知, , , , ,
, , , .
设为平面的一个法向量,则
由得取,则.
设为平面的一个法向量,则
由得取,则,
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的性质、面面垂直的判定,利用空间向量二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图.
(1)求an;
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
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【题目】(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(I)求异面直线与所成角的余弦值;
(II)求证:平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】如图,有一壁画,最高点A处离地面AO=4m,最低点B处离地面BO=2m,观赏它的C点在过墙角O点与地面成30°角的射线上.
(1)设点C到墙的距离为x,当x= m时,求tanθ的值;
(2)问C点离墙多远时,视角θ最大?
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【题目】如图四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,且CD=2,AB=BC=PA=1,PD= .
(1)求三棱锥A﹣PCD的体积;
(2)问:棱PB上是否存在点E,使得PD∥平面ACE?若存在,求出 的值,并加以证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知一个几何体的三视图如图所示.
(1)求此几何体的表面积;
(2)在如图的正视图中,如果点A为所在线段中点,点B为顶点,求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长.
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【题目】已知两个无穷数列和的前项和分别为, , , ,对任意的,都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若 为等差数列,对任意的,都有.证明: ;
(3)若 为等比数列, , ,求满足 的值.
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