Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin$\frac{A+B}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=$\sqrt{2}$．
（1）判断三角形的形状；
（2）若三角形ABC的周长是16，求三角形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式及两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1，结合范围$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），即可解得C=$\frac{π}{2}$．
（2）直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，两次运用均值不等式即可求解△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵sin$\frac{A+B}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=sin$\frac{π-C}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
∴sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1，
∵0＜C＜π，$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得：C=$\frac{π}{2}$．
故三角形为直角三角形．
（2）设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S=$\frac{1}{2}$ab．
由已知，得a+b+c=16，∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=16，
∴16=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{16}{2+\sqrt{2}}$=16-8$\sqrt{2}$，
∴ab≤（16-8$\sqrt{2}$）²=384-256$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤192-128$\sqrt{2}$，当且仅当a=b=16-8$\sqrt{2}$时，S取最大值．

点评 本题考查解三角形，分类讨论思想的应用，利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．