Question

2．设函数f（x）=x（x-a）（x-3）（a∈R）的图象为C，过原点O且斜率为t的直线为l，设C与l除原点O外，还有另外两个交点P，Q（可以重合），且f′（0）=3．
（1）求a的值；
（2）记函数g（t）=|$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$|，写出g（t）的表达式并求当-1≤t＜3时g（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得：f′（x）=（x-a）（x-3）+x（x-3）+x（x-a），由于f′（0）=3，代入即可得出．
（2）直线l的方程为：y=tx，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y=x（x-1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，及其x²-4x+3-t=0，可得x₁x₂=3-t．函数g（t）=|x₁x₂+y₁y₂|=-t³+3t²-t+3，-1≤t＜3．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=（x-a）（x-3）+x（x-3）+x（x-a），
∵f′（0）=3，
∴3a=3，
解得a=1．
（2）直线l的方程为：y=tx，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y=x（x-1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，及其x²-4x+3-t=0，
∴x₁x₂=3-t．
∴函数g（t）=|$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$|=|x₁x₂+y₁y₂|=$|{x}_{1}{x}_{2}+{t}^{2}{x}_{1}{x}_{2}|$=（1+t²）|3-t|=（1+t²）（3-t）=-t³+3t²-t+3，-1≤t＜3．
g′（t）=-3t²+6t-1=-3$（x-\frac{3+\sqrt{6}}{3}）$$（x-\frac{3-\sqrt{6}}{3}）$，
g′（t）＞0，解得$\frac{3-\sqrt{6}}{3}＜t＜\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，此时函数g（t）单调递增；
由g′（t）＜0，解得$-1≤t＜\frac{3-\sqrt{6}}{3}$或$\frac{3+\sqrt{6}}{3}＜t＜3$，此时函数g（t）单调递减．
又g（-1）=8，$g（\frac{3+\sqrt{6}}{3}）$=$\frac{-45-28\sqrt{6}}{9}$＜0．
∴g（t）的最大值是8．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．