Question

10．已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=0，a₃=2，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$
（1）求数列{a_n}和等比数列{b_n}的通项公式．
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的公差与公比分别为：d，q．由于a₁=0，a₃=2，利用通项公式可得d，a_n及其b_n．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（n-1）×2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的公差与公比分别为：d，q．
∵a₁=0，a₃=2，
∴2=0+2d，解得d=1．
∴a_n=0+（n-1）=n-1．
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（n-1）×2ⁿ．
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=0+2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ，
2S_n=0+2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ+（n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）×2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）×2ⁿ⁺¹=（2-n）×2ⁿ⁺¹-4，
∴S_n=（n-2）×2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．