Question

12．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥2}\\{x-2y≥-4}\\{3x-y≤3}\end{array}\right.$所表示的平面区域为M，若z=2x-y+2a+b（a＞0，b＞0）的最大值为3，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为3$+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 ①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A或B时z有最值．得到a，b关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．

解答 解：画不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥2}\\{x-2y≥-4}\\{3x-y≤3}\end{array}\right.$所表示的平面区域为M如图，
画直线z=2x-y+2a+b，
平移直线z=2x-y+2a+b过点A（1，0）时z有最大值3；
则z=2+2a+b=3，解得2a+b=1，a＞0，b＞0，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（2a+b）=3+$\frac{2a}{b}$$+\frac{b}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}a$，2a+b=1，即a=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{2}-1$时，表达式取得最小值．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，基本不等式的综合应用，属于中档题．