Question

3．已知公比不为1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，4a₁，3a₂，2a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}（{S}_{n}+1）}$，求满足方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_n-1b_n=$\frac{2015}{2016}$的正整数n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过首项和公比表示出数列{a_n}的前三项，利用4a₁，3a₂，2a₃成等差数列列出方程，进而可求出公比，利用等比数列的通项公式计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知b_nb_n+1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，6q=4+2q²，
解得：q=2或q=1（舍），
∴数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴其通项公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}（{S}_{n}+1）}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}（{2}^{n}-1+1）}$=$\frac{1}{n}$，
∵b_nb_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴并项相加可知b₁b₂+b₂b₃+…+b_n-1b_n=$\frac{n}{n+1}$=$\frac{2015}{2016}$，
解得：n=2015．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．