Question

15．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BD}$，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{15}{8}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，代入$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BD}$并进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{AC}=（λ-μ）\overrightarrow{AB}+（\frac{λ}{2}+μ）\overrightarrow{AD}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BD}$
=$λ（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$$+μ（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$（λ-μ）\overrightarrow{AB}+（\frac{λ}{2}+μ）\overrightarrow{AD}$；
∴由平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{λ-μ=1}\\{\frac{λ}{2}+μ=1}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{3}，μ=\frac{1}{3}$；
∴$λ+μ=\frac{5}{3}$．
故选B．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．