Question

13．求函数y=$\frac{{x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$的值域．

Answer 1

分析 可将原函数整理成关于x的方程的形式：（1-y）x²+6x+1-y=0，并且该方程有解，容易判断y=1时满足方程有解，而y≠1时方程为关于x的一元二次方程，根据方程有解从而得到△≥0，这样可解出y的范围，从而便可得出原函数的值域．

解答 解：将$y=\frac{{x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$整理成关于x的方程，（1-y）x²+6x+1-y=0，该方程有解；
（1）若y=1，显然上面方程有解；
（2）若y≠1，上面方程为关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=36-4（1-y）²≥0；
解得-2≤y≤4且y≠1；
综上所述，原函数的值域为[-2，4]．

点评 考查函数值域的概念及求法，将原函数整理成关于x的方程的形式，根据方程有解求函数值域的方法，以及一元二次方程的解和判别式△取值的关系．