Question

13．[B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=4a_n+（n-4）（n+1），可求得a₁，a₂，a₃的值，从而可猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题a_n=2ⁿ+n对任意的正整数n恒成立．

解答 解：（1）当n=1时，2S₁=4a₁-6，解得a₁=3，
当n=2时，2（a₁+a₂）=4a₂-6，解得a₂=6，
当n=2时，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃-4，解得a₃=11，
由此猜想a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
下面用数学归纳法证明：a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
①当n=1时，显然成立，
②假设n=k时成立，即a_k=2^k+k，
那么当n=k+1时，
∵2a_k+1=2S_k+1-2S_k=[4a_k+1+（k-3）（k+2）]-[4a_k+（k-4）（k+1），
∴a_k+1=2a_k-k+1=2×2^k+2k-k+1=2^k+1+k+1，
所以当n=k+1时，猜想成立，
由①②可知，猜想成立，即a_n=2ⁿ+n．（n∈N⁺）．

点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．