Question

4．已知直线系y=2x+b、圆x²+y²=2直线线系中的直线与圆的交点A、B，试用b为参数表示AB的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，联立直线和圆的方程，根据根与系数之间的关系，结合中点坐标公式进行求解即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为C（x，y），
将直线y=2x+b、代入圆x²+y²=2得x²+（2x+b）²=2，
即5x²+4bx+b²-2=0，
当判别式△＞0时，
即16b²-20（b²-2）=-4b²+40＞0，
则b²＜10，
即-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$，
x₁+x₂=$-\frac{4b}{5}$，
则x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2b}{5}$，
y=2x+b=2×（-$\frac{2b}{5}$）+b=$\frac{b}{5}$，
则AB的中点的轨迹方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2b}{5}}\\{y=\frac{b}{5}}\end{array}\right.$，（-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$）．

点评 本题主要考查线段中点的轨迹方程，利用参数结合设而不求的数学思想是解决本题的关键．