Question

19．已知曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）和定点P（4，1），过P的直线与曲线交于A，B，若线段AB上的点Q使得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AQ}{QB}$成立，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程，设A，B，Q对应的参数分别为t₁，t₂，t₀，利用根与系数的关系得出t₁t₂，t₁+t₂．由$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AQ}{QB}$成立可知$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{t}_{1}-{t}_{0}}{{t}_{0}-{t}_{2}}$．用t₁，t₂表示出t₀，得出Q点的坐标，观察坐标关系，消去直线的倾斜角α即为Q的轨迹方程．

解答 解：曲线的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，即x²+2y²=8．
设PA的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，
设A，B，Q对应的参数t分别为t₁，t₂，t₀，
∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AQ}{QB}$成立，∴$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{t}_{1}-{t}_{0}}{{t}_{0}-{t}_{2}}$．
∴t₀=$\frac{2{t}_{1}{t}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{2}}$．
将直线参数方程方程代入椭圆普通方程得：（4+tcosα）²+2（1+tsinα）²=8．
∴（cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+8cosα）t+10=0，
∴t₁t₂=$\frac{10}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$，t₁+t₂=-$\frac{4sinα+8cosα}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$．
∴t₀=-$\frac{20}{4sinα+8cosα}$=-$\frac{5}{sinα+2cosα}$．
设Q的坐标为（x，y），则
x=4+t₀cosα=4-$\frac{5cosα}{sinα+2cosα}$，
y=1+t₀sinα=1-$\frac{5sinα}{sinα+2cosα}$=-4+$\frac{10cosα}{sinα+2cosα}$．
∴动点Q的轨迹方程为：2x+y=4．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．