Question

20．已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q∈R，且q≠0，1）的等比数列．若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对?n∈N₊，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=a_n+1均成立，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d=2，q=3，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）由条件求得n=1时，c₁=3，当n＞1时，c_n=2n•3^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a₁=f（d-1）=（d-1）²，a₅=f（2d-1）=（2d-1）²，
即有a₅-a₁=4d=（2d-1）²-（d-1）²=3d²-2d，
解得d=2（0舍去），
可得a_n=1+2（n-1）=2n-1；
由b₁=f（q-2）=（q-2）²，b₃=f（q）=q²，
即有q²=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}$=$\frac{{q}^{2}}{（q-2）^{2}}$，
解得q=3（0和1舍去），
即有b_n=3^n-1；
（Ⅱ）由?n∈N₊，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=a_n+1均成立，
可得n=1时，c₁=a₂=3，
n＞1时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=a_n+1，
即有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{（n-1）{b}_{n-1}}$=a_n，
两式相减可得$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=2，即有c_n=2n•3^n-1（n＞1），
则前n项和为S_n=3+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，
3S_n=9+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
两式相减可得，-2S_n=6+2（3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ=6+2•$\frac{9（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-2n•3ⁿ，
化简可得S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n}}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．