Question

2．如果以原点为圆心的圆经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点．并且被直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c为双曲线的半焦距）分为弧长为2：1的两段，则该双曲线离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据圆的弧长关系，得到∠AOB=120°，求出交点A的坐标，根据三角函数值建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵圆直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c为双曲线的半焦距）分为弧长为2：1的两段，
∴∠AOB=120°，则∠AOx=60°，
∵以原点为圆心的圆经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点，
∴圆的方程为x²+y²=c²，
当x=$\frac{{a}^{2}}{c}$时，（$\frac{{a}^{2}}{c}$）²+y²=c²，
得y=±$\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{c}$，
不妨设A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{c}$），
则tan∠AOx=$\frac{\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
平方得b²（a²+c²）=3a⁴，
即（c²-a²）（a²+c²）=3a⁴，
即c⁴-a⁴=3a⁴，
则c⁴=4a⁴，
则c²=2a²，
即c=$\sqrt{2}$a，
则e=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出A的坐标，建立三角函数关系进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．