Question

12．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为36，点E，F分别为棱B₁B，C₁C上的点（异于端点），且EF∥BC，则四棱锥A₁-AEFD的体积为12．

Answer 1

分析 过A₁作A₁M⊥AE于M，则A₁M⊥平面AEFD，设∠BAE=θ，则AE=$\frac{AB}{cosθ}$，A₁M=AA₁cosθ，于是四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}$AE•AD•A₁M．根据AB•AD•AA₁=36得出棱锥的体积．

解答 解：过A₁作A₁M⊥AE于M，
∵AD⊥平面AA₁B₁B，A₁M?平面AA₁B₁B，
∴AD⊥A₁M，又AD?平面AEFD，AE?平面AEFD，AD∩AE=A，
∴A₁M⊥平面AEFD．
设∠BAE=θ，则∠AA₁M=θ，
∴AE=$\frac{AB}{cosθ}$，A₁M=AA₁cosθ，
∴V${\;}_{{A}_{1}-AEFD}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形AEFD}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\frac{AB}{cosθ}×AD×A{A}_{1}cosθ$=$\frac{1}{3}$AB•AD•AA₁．
∵四棱柱的体积V=AB•AD•AA₁=36，
∴V${\;}_{{A}_{1}-AEFD}$=$\frac{1}{3}×36=12$．
故答案为：12．

点评 本题考查了棱锥，棱柱的体积计算，属于基础题．