Question

20．（1）通过计算可得下列等式：
2³-1³=3×1²+3×1+1；
3³-2³=3×2²+3×2+1；
4³-3³=3×3²+3×3+1；
…
（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1；
将以上各等式两边分别相加，得
（n+1）³-1³=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
即：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）
类比上述求法，试求出1³+2³+3³+…+n³的值．
（2）用数学归纳法证明第（1）问所得结论．

Answer 1

分析 （1）通过类比写出前几项，进而归纳猜想即可；
（2）通过归纳推理的步骤，分两步来证明，第一步验证当n=1时结论成立，第二步假设当n=k（k≥1）时结论成立，则通过等量代换、化简计算，得出此时也成立即可．

解答 解：（1）通过计算可得下列等式：
2⁴-1⁴=4×1³+6×1²+4×1+1；
3⁴-2⁴=4×2³+6×2²+4×2+1；
4⁴-3⁴=4×3³+6×3²+4×3+1；
…
（n+1）⁴-n⁴=4×n³+6×n²+4×n+1；
将以上各等式两边分别相加，得
（n+1）⁴-1⁴=4（1³+2³+3³+…+n³）+6（1²+2²+3²+…+n²）+4（1+2+3+…+n）+n，
∵1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），
∴[（n+1）²-1][（n+1）²+1]=4（1³+2³+3³+…+n³）+6•$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）+4•$\frac{n（n+1）}{2}$+n，
∴1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$[n²（n+1）²]；
（2）由（1）可知：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$[n²（n+1）²]，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有1³+2³+3³+…+k³=$\frac{1}{4}$[k²（k+1）²]，
则当n=k+1时，1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=$\frac{1}{4}$[k²（k+1）²]+（k+1）³
=$\frac{1}{4}$（k+1）²[k²+4（k+1）]
=$\frac{1}{4}$（k+1）²（k+2）²，
即当n=k+1时，结论也成立；
由①②可知，1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$[n²（n+1）²]．

点评 本题考查类比推理及数学归纳法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．