Question

8．已知1，2，…，n满足下列性质T的排列a₁，a₂，…，a_n的个数为f（n）（n≥2）排列a₁，a₂，…，a_n中有且只有一个a_i＞a_i+1（i∈{1，2，…，n-1}）
（1）求f（3）=4；f（4）=11；f（5）=26
（2）求f（n）的表达式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）当n=3时，写出所有的排列，再找到满足a_i＞a_i+1的排列有，（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），即f（3）=4，
同理求出f（4），f（5）
（2）由（1）猜想出结论f（n）=2ⁿ-n-1，再根据排列组合即可证明．

解答 解：（1）当n=3时，1，2，3的所有排列有（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），其中满足仅存在一个i∈{1，2，3}，使得a_i＞a_i+1的排列有，（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2）
所以f（3）=4，
同理可求f（4）=11，f（5）=26，
（2）由（1）猜想出结论f（n）=2ⁿ-n-1，
证明如下：在1，2，…，n的所有排列（a₁，a₂，…a_n）中，
若a_i=n（1≤i≤n-1），从n-1个数1，2，3，…，n-1中选i-1 个数按从小到大的顺序排列为a₁，a₂，…a_i-1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，
于是满足题意的排列个数为C_n-1^i-1．
若a_i=n，则满足题意的排列个数为f（n-1），
综上，f（n）=f（n-1）+$\sum_{i=1}^{n-1}{C}_{n-1}^{i-1}$=f（n-1）+2ⁿ⁺¹-1，
从而f（n）=$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{n-3}）}{1-2}$-（n-3）+f（3）=2ⁿ-n-1，
故答案为：4，11，26．

点评 本题考查了归纳推理和排列组合的问题，关键是转化，培养了学生的分析解决问题的能力，属于难题．