Question

5．在极坐标系中．点A（1，$\frac{π}{3}$），B（2，$\frac{π}{3}$）．动点P满足PA=$\frac{1}{2}$PB．则动点P轨迹的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{3}$cosθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ．

Answer 1

分析 求出A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，$\sqrt{3}$），利用动点P满足PA=$\frac{1}{2}$PB，直接计算，即可求出点P的轨迹方程．

解答 解：∵A（1，$\frac{π}{3}$），B（2，$\frac{π}{3}$），
∴A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，$\sqrt{3}$）
设P（x，y），则
∵PA=$\frac{1}{2}$PB，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{1}{4}$（y-$\sqrt{3}$）²，
∴x²+y²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y=0．
极坐标方程为ρ=$\frac{2}{3}$cosθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ．
故答案为：ρ=$\frac{2}{3}$cosθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ．

点评 本题考查点P的轨迹方程，考查直接法的运用，比较基础．