Question

14．如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）ⁿ＞1+nx．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明：（1）当n=2时，证明不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N^*）时命题成立，用上归纳假设，去证明则当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答 证明：（1）当n=2时，∵x≠0，∴（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx
当n=k+1时，左边=（1+x）^k+1=（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
∴当n=k+1时，不等式成立
由（1）（2）可知，不等式成立．

点评 本题考查数学归纳法，解题时要认真审题，仔细 解答，注意放缩法的合理运用，属于中档题．