Question

6．一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么该三棱柱的体积是162$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据球的体积得出球的半径，由球与棱柱相切可知棱柱的高为球的直径，棱柱底面三角形的内切圆为球的大圆，从而计算出棱柱的底面边长和高．

解答 解：设球的半径为r，则$\frac{4π{r}^{3}}{3}$=36π，解得r=3．
∵球与正三棱柱的三个侧面相切，
∴球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆，
∴棱柱底面正三角形的边长为2$\sqrt{3}r$=6$\sqrt{3}$．
∵球与棱柱的两底面相切，
∴棱柱的高为2r=6．
∴三棱柱的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（6\sqrt{3}）^{2}×6$=162$\sqrt{3}$．
故答案为162$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了棱柱与内切球的关系，找出球的半径与棱柱的关系是解题关键．