Question

1．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=$\sqrt{2}$CD．
（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；
（2）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理可得CD⊥DE，结合AD⊥CD得出CD⊥平面ADE，从而平面CDE⊥平面ADE；
（2）作EG⊥AD，则可证明EG⊥平面ABCD，于是多面体体积等于四棱锥E-ABCD的体积．

解答 证明：（1）∵CD=DE，CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD²+DE²=CE²，
∴CD⊥DE
又CD⊥AD，AD?平面ADE，DE?平面ADE，AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，又CD?平面CDE，
∴平面CDE⊥平面ADE．
（2）过E作EG⊥AD，垂足为G，
∵CD⊥平面ADE，GE?平面ADE，
∴CD⊥GE，
又GE⊥AD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，
∴GE⊥平面ABCD．
∵△ADE是等边三角形，DE=2a，
∴GE=$\sqrt{3}a$．
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）•AD=$\frac{1}{2}×$（a+2a）•2a=3a²．
∴多面体ABCDE的体积V=V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•EG$=$\frac{1}{3}×3{a}^{2}×\sqrt{3}a$=$\sqrt{3}$a³．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．