Question

16．当实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．

解答 解：由约束条件作可行域如图
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，$\frac{3}{2}$ ）．
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0得A（1，0）．
由ax+y≤4得y≤-ax+4
要使ax+y≤4恒成立，
则平面区域在直线y=-ax+4的下方，
若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，
若-a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，
若-a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=-ax+4的下方，
则只要B在直线的下方即可，
即2a+1≤4，得0＜a≤$\frac{3}{2}$．
综上a≤$\frac{3}{2}$
∴实数a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．