Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围．

Answer 1

分析 （I）把x=-c代入椭圆的方程可得：解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$．当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得最小值$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3．根据△ABF₂的周长为8，可得4a=8．又$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，联立解出即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．直线AB的方程为my=x+1，与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²-6my-9=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，直线A′B的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=（x-x₁），令y=0，可得：x_M=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=-4．M（-4，0）．利用点到直线的距离公式可得：点M到直线AB的距离d，利用S_△ABM=$\frac{1}{2}d|AB|$及其利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）把x=-c代入椭圆的方程可得：y²=${b}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$．
当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得最小值$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3．
∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8．
又$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，联立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．
直线AB的方程为my=x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$
直线A′B的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=（x-x₁），
令y=0，可得：x_M=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}（m{y}_{2}-1）+{y}_{2}（m{y}_{1}-1）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$-1=-4．
∴M（-4，0）．
点M到直线AB的距离d=$\frac{|-4+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$×$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$=18×$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$．（m²＞0）．
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$＞1，g（t）=3t+$\frac{1}{t}$，g′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{3{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$＞0，因此函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞4．
∴S_△ABM∈$（0，\frac{9}{2}）$．
∴△ABM面积的取值范围是$（0，\frac{9}{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．