Question

20．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2$\sqrt{2}$，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理分别求出OD，OB，BD，利用勾股定理的逆定理即可证出结论；
（2）截面上部分是一个四棱锥D-ABOE，底面为直角梯形，高为底面等边三角形的高．

解答 （1）证明：∵BF$\stackrel{∥}{=}$DE，∴△OED≌△OFB，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$AB=1，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，连结BC，BD，
∵EF⊥BF，EF⊥CF，∴∠BFC为平面ABFE与平面EFCD所成角，
∴∠BFC=60°，又BF=BC，
∴△BFC是等边三角形，∴BC=BF=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴OD²+OB²=BD²，
∴BO⊥DO．
（2）解：取AE的中点H，连结DH，则DH⊥平面ABFE，且DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AE$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴V_D-ABOE=$\frac{1}{3}$S_梯形ABOE•DH=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，二面角的定义，棱锥的体积计算，属于基础题．