Question

8．某部门就“按现有的物价水平，抚养一个孩子要花多少钱”对100人进行了问卷调查，将调查结果制作成频率分布直方图如图，已知样本中数据在区间[30，35）上的人数与数据在区间[45，50）的人数之比为3：4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）（ⅰ）根据问卷调查结果估计：按现有的物价水平，抚养一个孩子平均要花多少钱；
（ⅱ）按分层抽样的方法在数据在区间[30，35）和[40，45）上的接受调查的市民中选取6人参加电视台举办的访谈，再从这6人中随机选取2人，求数据在[30，35）的市民中至少有一人被选中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图得：a：b=3：4，（0.01+a+b+0.06+b+0.02）×5，由此能求出a，b．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知a=0.03，b=0.04，由此利用频率分布直方图能求出按现有的物价水平，抚养一个孩子平均要花多少钱．
（ii）数据在区间[30，35）上的人数为15人，[40，45）上的人数为30人，按分层抽样的方法在数据在区间[30，35）和[40，45）上的接受调查的市民中选取6人参加电视台举办的访谈，则在[30，35）上选取2人，在[40，45）上选取4人，再从这6人中随机选取2人，能求出数据在[30，35）的市民中至少有一人被选中的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵样本中数据在区间[30，35）上的人数与数据在区间[45，50）的人数之比为3：4，
∴由频率分布直方图得：a：b=3：4①
由频率分布直方图得：（0.01+a+b+0.06+b+0.02）×5②…（1分）
由①得$a=\frac{3}{4}b$代入②得：$（0.09+\frac{11b}{4}）×5=1$…（2分）
解得：b=0.04…（3分）
∴a=0.03…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知a=0.03，b=0.04
根据直方图可得：
按现有的物价水平，抚养一个孩子平均要花：
（27.5×0.01+32.5×0.03+37.5×0.04+42.5×0.06+47.5×0.04+52.5×0.02）×5=41.25（万元）．
（ii）由（Ⅰ）得数据在区间[30，35）上的人数为0.03×5×100=15人，[40，45）上的人数为0.06×5×100=30人，
按分层抽样的方法在数据在区间[30，35）和[40，45）上的接受调查的市民中选取6人参加电视台举办的访谈，
则在[30，35）上选取$\frac{15}{15+30}$×6=2人，在[40，45）上选取$\frac{30}{15+30}×6$=4人，
再从这6人中随机选取2人，则数据在[30，35）的市民中至少有一人被选中的概率：
P=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、分层抽样的性质的合理运用．