Question

20．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为$\frac{π}{3}$时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2}）$
• C． $（1，\sqrt{3}）$
• D． （1，2）

Answer 1

分析 当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，可得$\frac{b}{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再利用离心率的计算公式即可得出e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；再由当直线倾斜角为$\frac{π}{3}$时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{3}$，求得e＜2，进而得到所求范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，可得$\frac{b}{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b²＞$\frac{1}{3}$a²，c²＞$\frac{4}{3}$a²，
可得e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
又当直线倾斜角为$\frac{π}{3}$时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{3}$，即b²＜3a²，c²＜4a²，
可得e＜2．
综上可得，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜e＜2．
故选：B．

点评 本题考查离心率的范围，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．