Question

15．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AE=1，AB=2，CD=3，E，F分别为AB，CD上得点，以EF为轴将正方形ADFE向上翻折，使平面ADFE与平面BEFC垂直．如图2．
（1）若点P在线段BD上，使得FP⊥平面BDC，求FP的长；
（2）求多面体AEBDFC的体积．

Answer 1

分析 （1）过B作BQ⊥CF，则四边形BEFQ是正方形，计算BC，BF，利用勾股定理的逆定理得出BC⊥BF．由平面ADFE⊥平面BEFC得DF⊥平面BEFC，故DF⊥BC，于是BC⊥平面BDF，故平面BCD⊥平面BDF，过F作FP⊥BD，则PF⊥平面BCD．根据△BDF的面积求出PF．
（2）多面体AEBDFC的体积V=V_B-ADFE+V_D-BCF．

解答 解（1）过B作BQ⊥CF，则四边形BEFQ是正方形，∴EF=BQ=FQ=CQ=1，
∴BF=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，∵FC=2，
∴BC²+BF²=FC²，∴BC⊥BF．
∵平面ADFE⊥平面BEFC，平面ADFE∩平面BEFC=EF，DF⊥EF，DF?平面ADFE，
∴DF⊥平面BEFC，∵BC?平面BEFC，
∴DF⊥BC，又BF?平面BDF，DF?平面BDF，BF∩DF=F，
∴BC⊥平面BDF，又BC?平面BCD，
∴平面BCD⊥平面BDF，
过F作FP⊥BD，∵平面BCD⊥平面BDF，平面BCD∩平面BDF=BD，PF?平面BDF，
∴PF⊥平面BCD．
∵DF⊥平面BEFC，BF?平面BEFC，
∴DF⊥BF，
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴PF=$\frac{DF•BF}{BD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）多面体AEBDFC的体积V=V_B-ADFE+V_D-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ADFE}•BE$+$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•DF$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×1$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．