Question

3．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，AM=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得PC⊥CB，结合AB⊥PC，由线面垂直的判定得PC⊥平面ABC，再由面面垂直的判定得平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）在平面PCBM内，过M做MN⊥BC交BC于N，连结AN，则CN=PM=1，又PM∥BC，得四边形PMNC为平行四边形，得PC∥MN，且PC=MN，由（Ⅰ）得MN⊥平面ABC，然后求解三角形得$AN=\sqrt{3}$，进一步求解直角三角形得PC=MN=1．在平面ABC内，过A做AH⊥BC交BC于H，则AH⊥平面PMC，求解直角三角形得AH，然后利用等积法求得三棱锥P-MAC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由∠PCB=90°，得PC⊥CB，
又∵AB⊥PC，AB∩BC=B，AB，BC⊆平面ABC，
∴PC⊥平面ABC．
又PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ） 解：在平面PCBM内，过M做MN⊥BC交BC于N，连结AN，则CN=PM=1，
又PM∥BC，得四边形PMNC为平行四边形，
∴PC∥MN，且PC=MN，
由（Ⅰ）得，PC⊥平面ABC，
∴MN⊥平面ABC，
在△ACN中，AN²=AC²+CN²-2AC•CNcos120°=3，即$AN=\sqrt{3}$．
又AM=2．
∴在Rt△AMN中，有PC=MN=1．
在平面ABC内，过A做AH⊥BC交BC于H，则AH⊥平面PMC，
∵AC=CN=1，∠ACB=120°，
∴∠ANC=30°．
∴在Rt△AHN中，有$AH=\frac{1}{2}AN=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
而${S_{△PMC}}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
∴${V_{P-MAC}}={V_{A-PMC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，训练了等积法求棱锥的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．