Question

10．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷m次，乙掷n次，掷出的正面次数依次记为x，y．
（Ⅰ）若m+n=10，记ξ=x+y，求P（ξ=k）的最大值：
（Ⅱ）若m=3，n=2，求x-y的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用二项分布即可求出概率，利用二项式系数的性质即得结论；
（2）通过分别求出X的可能取值为-2，-1，0，1，2，3相应的概率，进而可求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）依题意，ξ～B（10，$\frac{1}{2}$），
则P（ξ=k）=${C}_{10}^{k}$$\frac{1}{{2}^{k}}$•$\frac{1}{{2}^{10-k}}$=${C}_{10}^{k}$$\frac{1}{{2}^{10}}$，
由二项式系数的性质可知P（ξ=k）的最大值为${C}_{10}^{5}$$\frac{1}{{2}^{10}}$=$\frac{63}{256}$；
（Ⅱ）由题可知，随机变量X=x-y的可能取值为-2，-1，0，1，2，3，
则P（X=-2）=${C}_{3}^{0}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，
P（X=-1）=${C}_{3}^{0}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{1}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{{2}^{5}}$，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{1}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{2}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{10}{{2}^{5}}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{2}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{3}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{10}{{2}^{5}}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{3}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{{2}^{5}}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，
所以X的分布列为：

X	-2	-1	0	1	2	3
P	$\frac{1}{{2}^{5}}$	$\frac{5}{{2}^{5}}$	$\frac{10}{{2}^{5}}$	$\frac{10}{{2}^{5}}$	$\frac{5}{{2}^{5}}$	$\frac{1}{{2}^{5}}$

E（X）=（3-2）•$\frac{1}{{2}^{5}}$+（2-1）•$\frac{5}{{2}^{5}}$+（0+1）•$\frac{10}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．