Question

3．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+4）=f（x），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x∈（-1.1]}\\{-{x}^{2}+2x+1，x∈（1，3]}\\{\;}\end{array}\right.$，当x∈[0，+∞）时，方程f（x）-4^xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，则实数a的值为（e是自然对数底数）（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{8}eln2}$
• B． $\frac{1}{{2}^{9}}$
• C． $\frac{e}{{2}^{8}ln2}$
• D． $\frac{e}{{2}^{9}}$

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用程f（x）-4^xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，等价为函数g（x）=4^xa与直线f（x）=2（x-4）相切，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a的值即可．

解答 解：由f（x）-4^xa=0得f（x）=4^xa，
∵f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
作出函数在[0，+∞）上的图象如图：
若方程f（x）-4^xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，
则等价为当3≤x≤5时，-1≤x-4≤1，此时f（x）=f（x-4）=2（x-4），
函数g（x）=4^xa与直线f（x）=2（x-4）相切，
设切点为（m，n），n=4^ma，
则g′（x））=4^xaln4，则g′（m）=4^maln4，
则对应的切线方程为y-4^ma=4^maln4（x-m），
即y=4^maln4（x-m）+4^ma=4^maln4x+4^ma（1-mln4），
∵f（x）=2（x-4）=2x-8，
∴4^maln4=2且4^ma（1-mln4）=-8，
两式相除得$\frac{{4}^{m}aln4}{{4}^{m}a（1-mln4）}$=-$\frac{2}{8}$，
得$\frac{ln4}{1-mln4}$=-$\frac{1}{4}$，即m=$\frac{4ln4+1}{ln4}$=4+$\frac{1}{ln4}$=4+log₄e，
则4^m=${4}^{4+lo{g}_{4}e}$=${4}^{4}•{4}^{lo{g}_{4}e}$=2⁸e，
则a=$\frac{2}{{4}^{m}•ln4}$=$\frac{2}{{2}^{8}e•2ln2}$=$\frac{1}{{2}^{8}eln2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数相切问题，利用到是的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．