Question

7．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：EF∥平面BB₁C₁C；
（Ⅲ）写出四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积．（只写出结论，不需要说明理由）

Answer 1

分析 （1）由三线合一得A₁D⊥AC，再利用面面垂直的性质得出A₁D⊥平面ABC；
（2）取B₁C₁的中点为G，连结FG，GB，则可证明四边形FGBE为平行四边形，从而EF∥BG，于是EF∥平面BB₁C₁C；
（3）过A₁作A₁M⊥CC₁，垂足为M，则可证明A₁M⊥平面BCC₁B₁．于是A₁M为四棱锥A₁-BB₁C₁C的高，底面为矩形，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵△AA₁C中，AA₁=A₁C，D为AC中点，
∴A₁D⊥AC；
又∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，A₁D?平面AA₁C₁C，
∴A₁D⊥平面ABC．
（Ⅱ）取B₁C₁的中点为G，连结FG，GB
∵F，G是A₁C₁，B₁C₁的中点，
∴FG∥A₁B₁，且FG=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
又EB∥A₁B₁，且EB=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
∴FG∥EB，FG=EB，
∴四边形FGBE为平行四边形；
∴EF∥BG，
又∵BG?平面BB₁C₁C，EF?BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．
（Ⅲ）过A₁作A₁M⊥CC₁，垂足为M，
∵A₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁D⊥BC，又AC⊥BC，AC?平面ACC₁A₁，A₁D?平面ACC₁A₁，AC∩A₁D=D，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，∵A₁M?平面ACC₁A₁，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁M，BC⊥CC₁．
又A₁M⊥CC₁，BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴A₁M⊥平面BCC₁B₁．
∵AA₁C₁C是平行四边形，AA₁=AC=A₁C=2，
∴△A₁CC₁是边长为2的等边三角形，∴A₁M=$\sqrt{3}$．
∴四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．