Question

17．用五种不同的颜色来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色（A与C、B与D不相邻）．
（1）求恰好使用两种颜色完成涂色任务的概率；
（2）设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）利用分类加法计数原理计算可知涂色方案共有260种，满足条件的方案由20种，利用概率计算公式计算即得结论；
（2）通过分别求出随机变量ξ可能取值为0，1，2时各自的概率，利用期望的定义计算即可．

解答 解：（1）由题意，涂色方式共三大类：
由分步计数原理可得，共${A}_{5}^{4}$+2×5×4×3+${A}_{5}^{2}$=260，
恰好使用两种颜色的方法有${A}_{5}^{2}$=20，
故所求概率P=$\frac{20}{260}$=$\frac{1}{13}$；
（2）依题意，随机变量ξ可能取值为0，1，2，
∵使用四种颜色的概率为$\frac{{A}_{5}^{4}}{260}$=$\frac{6}{13}$，使用三种颜色的概率为$\frac{2×5×4×3}{260}$=$\frac{6}{13}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{1}{13}$×$\frac{1}{13}$+$\frac{6}{13}$×$\frac{6}{13}$+$\frac{6}{13}$×$\frac{6}{13}$=$\frac{73}{169}$，
P（ξ=1）=2（$\frac{6}{13}$×$\frac{6}{13}$+$\frac{6}{13}$×$\frac{1}{13}$）=$\frac{84}{169}$，
P（ξ=2）=2×$\frac{6}{13}$×$\frac{1}{13}$=$\frac{12}{169}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{73}{169}$	$\frac{84}{169}$	$\frac{12}{169}$

E（ξ）=0×$\frac{73}{169}$+1×$\frac{84}{169}$+2×$\frac{12}{169}$=$\frac{108}{169}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望，涉及排列、组合等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．