Question

12．[A]已知数列{a_n}满足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1，可求得a₁，a₂，a₃的值，从而可猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题a_n=2ⁿ+n对任意的正整数n恒成立．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n-n+1，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
当n=3时，a₄=2a₃-3+1，解得a₃=11，
当n=2时，a₃=2a₂-2+1，解得a₂=6，
当n=1时，a₂=2a₁-1+1，解得a₁=3，
可以猜想a_n=2ⁿ+n，
（2）下面用数学归纳法证明：a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
①当n=1时，a₁=3，成立，
②假设n=k时成立，即a_k=2^k+k，
那么当n=k+1时，a_k+1=2a_k-k+1=2×2^k+2k-k+1=2^k+1+k+1，
所以当n=k+1时，猜想成立，
由①②可知，猜想成立，即a_n=2ⁿ+n．（n∈N⁺）．

点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．