Question

4．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M为何种曲线；
（2）当m=-$\frac{3}{4}$时，点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用两直线的斜率之积为m，所以有$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$•$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$=m，化简得到-$\frac{m}{3}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），分类讨论，得到轨迹M为何种曲线；
（2）设直线PE的方程与椭圆方程联立，求得E的坐标，同理得到F的坐标，利用斜率公式，即可得出结论．

解答 解：（1）令C点坐标为（x，y），则直线AC的斜率k₁=$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$，直线BC的斜率k₂=$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$，
因为两直线的斜率之积为m，所以有$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$•$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$=m，化简得到-$\frac{m}{3}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），…（3分）
所以
当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）两点…（4分）
当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）两点；…（5分）
当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）两点；…（6分）
当＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）两点；…（7分）
（2）由题意曲线C为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），点P（1，$\frac{3}{2}$），
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），令直线PE：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），
联立椭圆方程，得（3+4k²）x²+8k（$\frac{3}{2}$-k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，…（9分）
则x₁x_P=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，∴x₁=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
同理，x₂=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
∴k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}）+2k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
故直线EF斜率为定值$\frac{1}{2}$ …（13分）

点评 本题考查了直线的斜率，考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档题．