Question

4．无论a取何值，过点P（4，6+2a）和Q（1，3a）的直线总过第一、二象限，则实数a的取值范围是（$\frac{3}{5}，6$）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把过点P（4，6+2a）和Q（1，3a）的直线总过第一、二象限转化为过点P、Q与过点O、P的直线的斜率间的关系求解．

解答 解：如图
${k}_{PQ}=\frac{6+2a-3a}{4-1}=\frac{6-a}{3}$，${k}_{OP}=\frac{6+2a}{4}=\frac{3+a}{2}$，
要使过点P（4，6+2a）和Q（1，3a）的直线总过第一、二象限，
则$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{PQ}＞0}\\{{k}_{OP}＞{k}_{PQ}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{PQ}＜0}\\{{k}_{OP}＜{k}_{PQ}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-a}{3}＞0}\\{\frac{3+a}{2}＞\frac{6-a}{3}}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-a}{3}＜0}\\{\frac{3+a}{2}＜\frac{6-a}{3}}\end{array}\right.$②
解①得：$\frac{3}{5}＜a＜6$；
解②得：a∈∅．
∴实数a的取值范围是（$\frac{3}{5}，6$）．
故答案为：（$\frac{3}{5}，6$）．

点评 本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．