Question

15．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（$\frac{a}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且α、β∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由周期可得ω=1，可得函数解析式，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调增区间；
（2）由题意易得sinα=$\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{2}{3}$，由α、β范围和同角三角函数基本关系可得cosα和cosβ，代入cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
∵f（x）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵f（$\frac{a}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\sqrt{2}$sin（β-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα=$\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{2}{3}$，又α、β∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，同理cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{5}}{3}$-$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性以及和差角的三角函数公式，属中档题．