Question

6．已知a_n=lg$\frac{100}{{2}^{n-1}}$，b_n=10${\;}^{{a}_{n}}$．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）数列{a_n}中前多少项的和最大？并求出这个最大值；
（3）数列{a_n}的前n项和为负数时，最小的项数是多少？

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义即可证明，
（2）利用函数思想求出数列{a_n}中前7项的和最大，再判断出数列{a_n}是2为首项以-lg2为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式即可求出，
（3）根据S_n=2n-$\frac{n（n-1）lg2}{2}$，以及函数的思想求出当n=15时，数列{a_n}的前n项和为负数，问题得以解决．

解答 解：（1）∵a_n=lg$\frac{100}{{2}^{n-1}}$，
∴b_n=10${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{100}{{2}^{n-1}}$=100•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴b_n-1=100•（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是等比数列，
（2）a_n=lg$\frac{100}{{2}^{n-1}}$=2-（n-1）ln2，
∴a_n=2-（n-1）lg2≥0，
∵a₇=2-6g2=lg100-lg64＞0
a₈=2-7lg2=lg100-lg128＜0，
∴数列{a_n}中前7项的和最大，
∴a_n-a_n-1=2-（n-1）ln2-2+（n-2）lg2=-lg2=lg$\frac{1}{2}$，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}是2为首项以-lg2为公差的等差数列，
∴S₇=7×2-$\frac{7（7-1）lg2}{2}$=14-21lg2，
（3）∵S_n=2n-$\frac{n（n-1）lg2}{2}$，
∵S_n=2n-$\frac{n（n-1）lg2}{2}$＜0，
∴4-（n-1）lg2＜0，
∴lg10⁴＜lg2^（n-1），
∴10⁴＜2^n-1，
∴n＞14，
∴当n=15时，数列{a_n}的前n项和为负数，
∴a₁₅=2-14ln2．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的性质和定义以及前n项和公式，属于中档题．