Question

11．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x₁，y₁）（i=1，2，…6）如表所示：

试销价格x（元）	4	5	6	7	a	9
产品销量y（件）	b	84	83	80	75	68

已知变量x，y具有线性负相关关系，且$\sum_{i=1}^{6}$x_i=39，$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=-4x+106；丙y=-4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．
（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）$\sum_{i=1}^{6}$x_i=39，$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得$\overline{x}$，$\overline{y}$，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将$\overline{x}$，$\overline{y}$，代入验证，乙同学的正确；
（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．

解答 解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，
且$\sum_{i=1}^{6}$x_i=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，
$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，
∵$\overline{x}=\frac{39}{6}$=6.5，
$\overline{y}=\frac{480}{6}$=80，
将$\overline{x}=6.5$，$\overline{y}=80$，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：y=-4x+106；
（2）

X	4	5	6	7	8	9
y	90	84	83	80	75	68
y	92	88	84	80	76	72

“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；
P（X=0）=$\frac{1}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$．
“理想数据“的个数ξ的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	=$\frac{1}{20}$

数学期望E（X）=0×$\frac{1}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=1.5．

点评 本题考查求回归方程，并结合概率求ξ的分布列和数学期望，在做题过程中要认真审题，确定ξ的取值，属于中档题．