Question

2．如图，已知四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形且AB⊥AD，AB∥CD，M、N、P分别为EC、FC、FB的中点．
（Ⅰ）求证：MP∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面MNP⊥平面EDC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用三角形的中位线定理，运用线面平行的判定定理，可得平面MNP∥平面ABCD，再由性质定理即可得证；
（Ⅱ）运用矩形的定义和直角梯形的定义，结合线面垂直的判定定理，可得MN⊥平面ECD，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）由M，N分别为EC，FC的中点，可得
MN∥EF，又EF∥AD，即有MN∥AD，
MN?平面ABCD，AD?平面ABCD，
可得MN∥平面ABCD；
同理可得NP∥平面ABCD，
又MN∩NP=N，且MN，NP?平面MNP，
可得平面MNP∥平面ABCD，
由MP?平面MNP，
可得MP∥平面ABCD；
（Ⅱ）由矩形ADEF可得AD⊥DE，
由ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，
可得AD⊥DC，
即有AD⊥平面ECD，
由AD∥MN，可得MN⊥平面ECD，
由MN?平面MNP，可得
平面MNP⊥平面EDC．

点评 本题考查线面平行的判定，注意运用面面平行的性质定理，考查面面垂直的判定，注意运用判定定理，同时考查线面和面面位置关系的转化思想的运用，考查空间想象能力和逻辑推理的能力，属于中档题．