Question

20．在△ABC中，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，点D在线段AB上，且$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{λ}$-$\frac{m}{n}$=1．

Answer 1

分析 根据向量减法的几何意义及向量的数乘运算便可由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$得到$\overrightarrow{CD}=（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$，而条件有$\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$并且由题意知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，这样由平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{n=λ}\end{array}\right.$，带入$\frac{1}{λ}-\frac{m}{n}$即可得出该式的值．

解答 解：由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$得，$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}=λ（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$；
∴$\overrightarrow{CD}=（1-λ）\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{CB}$；
即$\overrightarrow{CD}=（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线；
又$\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$；
∴由平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{n=λ}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{λ}-\frac{m}{n}=\frac{1}{λ}-\frac{1-λ}{λ}=1$．
故答案为：1．

点评 考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理，清楚平面向量基本定理具备的条件．