Question

6．已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0和直线1：x+2y-4=0；
（1）当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
（2）当曲线C表示圆时，被直线1截得的弦长为2$\sqrt{5}$．求m的值
（3）是否存在实数m，使得曲线C与直线1相交于M，N两点．且满足0M⊥ON（其中O为坐标原点）．若存在．求m的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过对x²+y²-2x-4y+m=0变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知m＜5，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距d，利用弦心距、半径与半弦长的关系计算即得结论；
（3）通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理可知y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$，利用向量的坐标运算得到关于m的方程，进而解方程即得结论．

解答 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
又∵曲线C表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）由（1）可知m＜5，
又∵直线1：x+2y-4=0，
∴圆心到直线l的距离d=$\frac{|1+4-4|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵直线1截得的弦长为2$\sqrt{5}$，
∴5-m=$（\frac{2\sqrt{5}}{2}）^{2}$+$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$，
解得：m=-$\frac{1}{5}$；
（3）结论：存在实数m=$\frac{8}{5}$，使得曲线C与直线1相交于M，N两点，且满足0M⊥ON（其中O为坐标原点）．
理由如下：
联立直线与曲线方程，消去x整理得：
5y²-16y+8+m=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$，
由0M⊥ON可知$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（4-2y₁）（4-2y₂）+y₁y₂=0，
整理得：16+5y₁y₂-8（y₁+y₂）=0，
即16+5•$\frac{8+m}{5}$-8•$\frac{16}{5}$=0，
解得：m=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，涉及点到直线的距离公式、勾股定理、韦达定理、向量的坐标运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．