Question

18．已知直线$l：mx+\sqrt{2}ny=2$与圆O：x²+y²=1交于A、B两点，若△AOB为直角三角形，记点M（m，n）到点P（0，1）、Q（2，0）的距离之和的最大值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{2}+\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
• D． $4\sqrt{2}+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据直线和圆的位置关系以及椭圆的定义即可得到结论．

解答 解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），
∴圆心到直线$l：mx+\sqrt{2}ny=2$的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得m²+2n²=8，即$\frac{{m}^{2}}{8}+\frac{{n}^{2}}{4}$=1，焦点为F₁（-2，0），F₂（-2，0）
则点M（m，n）到点P（0，1）、Q（2，0）的距离之和=|MP|-|MF₁|+2a≤|PF₁|+2a=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确转化是关键．