Question

1．设${S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）归纳并猜想出S_n．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，4可以求出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）从而可猜想{S_n}的一个通项公式，方法一（裂项求和）；
方法二：（数学归纳法）按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题a_n=2ⁿ+n对任意的正整数n恒成立．

解答 解：（1∵${S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
∴S₁=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$，S₄=$\frac{4}{5}$，
（2）由（1）可以猜想，S_n=$\frac{n}{n+1}$，
理由如下：方法一（裂项求和）：
∵$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴${S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
方法二：（数学归纳法）
①当n=1时，显然成立，
②假设n=k时成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
那么，当n=k+1时，S_k+1=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k（k+2）+1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{（k+1）^{2}}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+1+1}$
所以当n=k+1时，猜想成立，
由①②可知，猜想成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．