Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n+1，设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，若S_n＜m对一切正整数n恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （3，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 利用累加法计算可知a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，进而裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加、放缩即得结论．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=n+1，
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1+1）+（n-2+1）+…+（1+1）+1
=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵S_n＜m对一切正整数n恒成立，
∴m≥2，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累加法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．