Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆C的左焦点且倾斜角为60°的直线与圆x²+y²=a²相交，所得弦的长度为$\sqrt{7}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上顶点为M，若直线l：y=kx+m与椭圆C交于两点A，B（A，B都不是上顶点），且直线MA与MB的斜率之积为$\frac{3}{4}$．
（a）求证：直线l过定点；
（b）求△MAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和直线和圆相交的弦长公式，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）（a）将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理可得m=-2，进而得到直线恒过定点（0，-2）：
（b）运用弦长公式和点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，化简整理，结合换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
椭圆C的左焦点（-c，0）且倾斜角为60°的直线方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），
圆心到直线的距离为d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
由圆的弦长公式可得$\sqrt{7}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3{c}^{2}}{4}}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）（a）证明：由题意可得M（0，1），
y=kx+m代入椭圆方程x²+4y²-4=0，
即有（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，
化为1+4k²＞m²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由题意可得k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+m-1}{{x}_{1}}$•$\frac{k{x}_{2}+m-1}{{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+k（m-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m-1）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}（4{m}^{2}-4）-8{k}^{2}m（m-1）+（1+4{k}^{2}）（m-1）^{2}}{4{m}^{2}-4}$=$\frac{3}{4}$，
即有m=-2．
则直线为y=kx-2，即有直线l恒过定点（0，-2）；
（b）由（a）可得1+4k²＞4，可得k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{256{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{48}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
M到直线的距离为$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△MAB面积为S=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$
=6•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，令$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t（t＞0），可得4k²=3+t²，
即有S=6•$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=6•$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$≤6•$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{3}{2}$．
当且仅当t=$\frac{4}{t}$即t=2，k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$时，面积取得最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和圆的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．