Question

3．已知0＜θ＜$\frac{π}{2}$，f（θ）=1+m+m（$\frac{cosθ-1}{sinθ}$）+$\frac{sinθ-1}{cosθ}$（m＞0），则使得f（θ）有最大值时的m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{3}$，3）
• C． [1，3]
• D． [$\frac{1}{4}$，1]

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式把已知函数化成正切函数，令$tan\frac{θ}{2}=t$（0＜t＜1），构造一个新函数g（t），再根据不等式的基本性质得到g（t）在（0，1）上必有最大值，然后求出m的取值范围．

解答 解：f（θ）=1+m+m（$\frac{cosθ-1}{sinθ}$）+$\frac{sinθ-1}{cosθ}$=$1+m-mtan\frac{θ}{2}-\frac{1-tan\frac{θ}{2}}{1+tan\frac{θ}{2}}$，
令$tan\frac{θ}{2}=t$（0＜t＜1），则$g（t）=1+m-mt-\frac{1-t}{1+t}$=$2+2m-[m（t+1）+\frac{2}{t+1}]$，
$m（t+1）+\frac{2}{t+1}≥2\sqrt{2m}$当且仅当$m=\frac{2}{（t+1）^{2}}$时等号成立，即g（t）在（0，1）上必有最大值，
∴m的范围为（$\frac{1}{2}$，2）．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查不等式的基本性质，考查计算能力．是基础题．