Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-c，0），P在双曲线的右支上，直线PF与圆（x+$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{b^2}{16}$相切于点Q，且$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{QF}$，则双曲线的离心率e的值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 运用对应边成比例，可得QC∥PE，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：设左焦点为F′，
圆心坐标C（-$\frac{c}{2}$，0），半径R=$\frac{b}{4}$，
则$\frac{FC}{FE}$=$\frac{\frac{c}{2}}{2c}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{QF}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=3|$\overrightarrow{QF}$|，
∴$\frac{FQ}{FP}$=$\frac{1}{4}$，
即$\frac{FQ}{FP}$=$\frac{FC}{FE}$=$\frac{1}{4}$，
则QC∥PE，
则PE=4QC=4×$\frac{b}{4}$=b，
∵直线PF与圆（x+$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{b^2}{16}$相切于点Q，
∴QC⊥PF，
则PE⊥PF，
则PF=$\sqrt{F{E}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-{b}^{2}}$，
由双曲线的定义可得，|PF|-|PE|=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-{b}^{2}}$-b=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-{b}^{2}}$=2a+b，
平方得4c²-b²=4a²+4ab+b²，
即4c²-4a²-2b²=4ab，
即4b²-2b²=4ab，
即2b²=4ab，
则b=2a，c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，利用数形结合是解决本题的关键．