Question

7．已知圆A：（x+1）²十y²=16，定点B（1，0），P为圆A上任一点，线段PB的垂直平分线交线段PA于点Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与轨迹C交于M，N两点，轨迹C的左端点为A₁，右端点为A₂，证明：直线A₁M与直线A₂N的交点在定直线上，并求该直线的方程．

Answer 1

分析 （1）通过连结BQ，利用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论；
（2）通过设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），并联立直线l与椭圆C的方程，利用韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，进而可分别求出直线A₁M、直线A₂N与x=4的交点坐标，然后验证即得结论．

解答 （1）解：连结BQ，则BQ=PQ，
∵AQ+BQ=AQ+QP=AP=4，
∴2a=4，即a=2，
又∵B（1，0），即c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
故点Q的轨迹C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由（1）可知A₁（-2，0），A₂（2，0），
联立直线l与椭圆C的方程，消去y整理得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
∴直线A₁M方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），
从而它与直线x=4的交点坐标为P（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可求得直线A₂N与直线x=4的交点坐标为Q（4，$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$），
下证$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，即点P与点Q重合：
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$-$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{6k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-2）-2k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+2）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2k[\frac{8（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}-\frac{40{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+8]}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=0，
即点P与点Q重合．
综上所述，所求直线的方程为：x=4．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，涉及椭圆的概念、韦达定理、中垂线的性质等基础知识，考查数形结合的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．