Question

18．在三棱ABC-A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，AC⊥AB，AB=2，AC=AA′=3，
（Ⅰ）若F为线段B′C上一点，且$\frac{CF}{FB′}$=$\frac{9}{4}$，求证：BC⊥平面AA′F；
（Ⅱ）若E，F分别是线段BB′，B′C的中点，设平面A′EF将三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积分别为V₁和V₂，求V₁．

Answer 1

分析 （I）过A作AM⊥BC，垂足为M，连结MF，通过计算CM，BM可得$\frac{CM}{BM}=\frac{9}{4}$，于是MF∥BB′∥AA′，于是AM?平面AA′F，再利用侧棱AA′⊥底面ABC得出BC⊥AA′即可得出结论；
（II）作出截面A′EF左右两侧的几何体，则右侧为四棱锥，且底面为矩形，高与AM相等，利用三棱柱的体积减去V₂即为V₁．

解答 解：（I）过A作AM⊥BC，垂足为M，连结MF
∵AA′⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA′⊥BC，
∵AB⊥AC，AB=2，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AM=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{6}{\sqrt{13}}$．
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，BM=BC-CM=$\frac{4}{\sqrt{13}}$．
∴$\frac{CM}{BM}=\frac{CF}{BF}=\frac{9}{4}$．
∴MF∥BB′∥AA′，
∴AM?平面AA′F．
又AA′?平面AA′F，AM∩AA′=A，
∴BC⊥平面AA′F．
（II）取CC′中点N，连结EN，AN，AE，
∵AA′⊥平面ABC，AA′∥BB′，
∴BB′⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，AM?平面ABC，
∴BB′⊥AM，BB′⊥BC，
又AM⊥BC，BC?平面BB′C′C，BB′?平面BB′C′C，BC∩BB′=B，
AM⊥平面BB′C′C，
∴V₂=V_{A′-B′C′NE}=$\frac{1}{3}{S}_{矩形B′C′NE}•AM$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{13}×\frac{6}{\sqrt{13}}$=3．
又V_{ABC-A′B′C′}=S_△ABC•AA′=$\frac{1}{2}×2×3×3$=9，
∴V₁=V_{ABC-A′B′C′}-V₂=6．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．